1) Encontre o domínio das funções abaixo:
1) Encontre o domínio das funções abaixo:
1 Resposta
1) Encontrar o domínio da função:
![mathsf{R(x)=ell n!left(dfrac{sqrt{x+8}}{x-4}ight)}]()
_________
Restrições para o domínio:
• Denominadores não podem se anular:
![mathsf{x-4e 0}\ mathsf{xe 4qquad(i)}]()
• Radicandos em índice par não podem ser negativos:
![mathsf{x+80}\ mathsf{x-8qquad(ii)}]()
não inclui o – 8 porque esse valor para x anularia o logaritmando (que está ligada a nossa próxima restrição)
• Logaritmandos sempre devem ser positivos:
![mathsf{dfrac{sqrt{x+8}}{x-4}0}\ mathsf{dfrac{N(x)}{D(x)}0qquad(iii)}]()
sendo
![mathsf{N(x)=sqrt{x+8}}\ mathsf{D(x)=x-4}]()
Vamos estudar o sinal do numerador e do denominador:
![mathsf{N(x)=sqrt{x+8}}]()
é uma função que retorna raiz quadrada de um número real.
A função raiz quadrada nunca resulta em número negativo , para valores dentro de seu domínio (nesse caso especial, não pode nem ser zero). Sendo assim, segue o sinal do numerador:
![egin{array}{cc} mathsf{N(x)=sqrt{x+8}}quad&underset{-8}{circ}underline{+++++}underset{4}{circ}underline{+++++} end{array}]()
![mathsf{D(x)=x-4}]()
é uma função afim, crescente cuja raiz é x = 4. Mas esse valor anularia o denominador:
Segue o sinal do denominador:
![egin{array}{cc} mathsf{D(x)=x-4}quad&underset{-8}{circ}underline{-----}underset{4}{circ}underline{+++++} end{array}]()
Representando simultaneamente o sinal do numerador, do denominador, e da fração formada por ambos:
![egin{array}{cc} mathsf{N(x)=sqrt{x+8}}qquad&underset{-8}{circ}underline{+++++}underset{4}{circ}underline{+++++}\ mathsf{D(x)=x-4}qquad&underset{-8}{circ}underline{-----}underset{4}{circ}underline{+++++}\ mathsf{dfrac{N(x)}{D(x)}=dfrac{sqrt{x+8}}{x-4}qquad}&underset{-8}{circ}underline{-----}underset{4}{circ}underline{+++++} end{array}]()
Voltando a![mathsf{(iii),}]()
queremos que o lado esquerdo da desigualdade sempre seja positivo. Logo, o intervalo de interesse é
![mathsf{x4}]()
____________
Domínio da função:
É determinado pela interseção das condições![extsf{(i), (ii) e (iii).}]()
![mathsf{Dom(R)={xinmathbb{R}:~x4}}]()
ou usando a notação de intervalos,
![mathsf{Dom(R)=left]4,,+inftyight[,.}]()
______________
2) Interseções com os eixos coordenados:
• Interseções com o eixo y:
Deveríamos ter![mathsf{x=0}]()
no domínio da função. Como
![mathsf{0ot in Dom(R),}]()
não é possível computar o valor da função quando![mathsf{x=0}.]()
Portanto, não há interseções com o eixo y.
______
• Interseções com o eixo x (raízes da função):
Fazendo![mathsf{y=0:}]()
![mathsf{ell n!left(dfrac{sqrt{x+8}}{x-4}ight)=0}\ mathsf{dfrac{sqrt{x+8}}{x-4}=e^0}\ mathsf{dfrac{sqrt{x+8}}{x-4}=1}\ mathsf{sqrt{x+8}=x-4}]()
Devemos resolver a equação acima, levando em conta que x só poderá assumir valores no domínio (maiores que 4).
![mathsf{(sqrt{x+8})^2=(x-4)^2}\ mathsf{x+8=x^2-8x+16}\ mathsf{0=x^2-8x+16-x-8}\ mathsf{x^2-9x+8=0}]()
Vou usar o método de fatoração por agrupamento para resolver a equação do 2º grau acima.
Reescreva convenientemente![-9x]()
como ![-8x-x,]()
e fatore por agrupamento o lado esquerdo:
![mathsf{x^2-8x-x+8=0}\ mathsf{x(x-8)-1(x-8)=0}\ mathsf{(x-8)(x-1)=0}\ egin{array}{rcl} mathsf{x-8=0}&~ extsf{ ou }~&mathsf{x-1=0}\ mathsf{x=8}&~ extsf{ ou }~&mathsf{x=-1}~~ extsf{(n~ao serve, pois }mathsf{-1]()
Portanto, temos apenas uma interseção com o eixo x: Quando![mathsf{x=8:}]()
![mathsf{y=R(8)}\ mathsf{y=ell n!left(dfrac{sqrt{8+8}}{8-4}ight)}\ mathsf{y=ell n!left(dfrac{sqrt{16}}{4}ight)}\ mathsf{y=ell n!left(dfrac{4}{4}ight)}\ mathsf{y=ell n,1}\ mathsf{y=0qquadcheckmark}]()
A interseção com o eixo x ocorre no ponto![mathsf{(8,,0).}]()
___________
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Dúvidas? Comente.
Bons estudos! :-)
Tags: domínio função real logaritmo ln raiz quadrada fração quociente inequação conjunto intervalo interseção eixo coordenado zero
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Restrições para o domínio:
• Denominadores não podem se anular:
• Radicandos em índice par não podem ser negativos:
não inclui o – 8 porque esse valor para x anularia o logaritmando (que está ligada a nossa próxima restrição)
• Logaritmandos sempre devem ser positivos:
sendo
Vamos estudar o sinal do numerador e do denominador:
é uma função que retorna raiz quadrada de um número real.
A função raiz quadrada nunca resulta em número negativo , para valores dentro de seu domínio (nesse caso especial, não pode nem ser zero). Sendo assim, segue o sinal do numerador:
é uma função afim, crescente cuja raiz é x = 4. Mas esse valor anularia o denominador:
Segue o sinal do denominador:
Representando simultaneamente o sinal do numerador, do denominador, e da fração formada por ambos:
Voltando a
queremos que o lado esquerdo da desigualdade sempre seja positivo. Logo, o intervalo de interesse é
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Domínio da função:
É determinado pela interseção das condições
ou usando a notação de intervalos,
![mathsf{Dom(R)=left]4,,+inftyight[,.}](/image/1069/6718/ac30f.png)
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2) Interseções com os eixos coordenados:
• Interseções com o eixo y:
Deveríamos ter
no domínio da função. Como
não é possível computar o valor da função quando
Portanto, não há interseções com o eixo y.
______
• Interseções com o eixo x (raízes da função):
Fazendo
Devemos resolver a equação acima, levando em conta que x só poderá assumir valores no domínio (maiores que 4).
Vou usar o método de fatoração por agrupamento para resolver a equação do 2º grau acima.
Reescreva convenientemente
como 
e fatore por agrupamento o lado esquerdo:
Portanto, temos apenas uma interseção com o eixo x: Quando
A interseção com o eixo x ocorre no ponto
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Bons estudos! :-)
Tags: domínio função real logaritmo ln raiz quadrada fração quociente inequação conjunto intervalo interseção eixo coordenado zero
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