1) Encontre o domínio das funções abaixo:​

1) Encontre o domínio das funções abaixo:


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1 Resposta

Clara

1) Encontrar o domínio da função:

mathsf{R(x)=ell n!left(dfrac{sqrt{x+8}}{x-4}ight)}

_________

Restrições para o domínio:

•   Denominadores não podem se anular:

mathsf{x-4e 0}\ mathsf{xe 4qquad(i)}

•    Radicandos em índice par não podem ser negativos:

mathsf{x+80}\ mathsf{x-8qquad(ii)}

não inclui o – 8 porque esse valor para x anularia o logaritmando (que está ligada a nossa próxima restrição)

•    Logaritmandos sempre devem ser positivos:

mathsf{dfrac{sqrt{x+8}}{x-4}0}\ mathsf{dfrac{N(x)}{D(x)}0qquad(iii)}

sendo

mathsf{N(x)=sqrt{x+8}}\ mathsf{D(x)=x-4}

Vamos estudar o sinal do numerador e do denominador:

mathsf{N(x)=sqrt{x+8}}

é uma função que retorna raiz quadrada de um número real.

A função raiz quadrada nunca resulta em número negativo , para valores dentro de seu domínio (nesse caso especial, não pode nem ser zero). Sendo assim, segue o sinal do numerador:

egin{array}{cc} mathsf{N(x)=sqrt{x+8}}quad&underset{-8}{circ}underline{+++++}underset{4}{circ}underline{+++++} end{array}

mathsf{D(x)=x-4}

é uma função afim, crescente cuja raiz é x = 4. Mas esse valor anularia o denominador:

Segue o sinal do denominador:

egin{array}{cc} mathsf{D(x)=x-4}quad&underset{-8}{circ}underline{-----}underset{4}{circ}underline{+++++} end{array}

Representando simultaneamente o sinal do numerador, do denominador, e da fração formada por ambos:

egin{array}{cc} mathsf{N(x)=sqrt{x+8}}qquad&underset{-8}{circ}underline{+++++}underset{4}{circ}underline{+++++}\ mathsf{D(x)=x-4}qquad&underset{-8}{circ}underline{-----}underset{4}{circ}underline{+++++}\ mathsf{dfrac{N(x)}{D(x)}=dfrac{sqrt{x+8}}{x-4}qquad}&underset{-8}{circ}underline{-----}underset{4}{circ}underline{+++++} end{array}

Voltando a mathsf{(iii),} queremos que o lado esquerdo da desigualdade sempre seja positivo. Logo, o intervalo de interesse é

mathsf{x4}

____________

Domínio da função:

É determinado pela interseção das condições 	extsf{(i), (ii) e (iii).}

mathsf{Dom(R)={xinmathbb{R}:~x4}}

ou usando a notação de intervalos,

mathsf{Dom(R)=left]4,,+inftyight[,.}

______________

2) Interseções com os eixos coordenados:

•   Interseções com o eixo y:

Deveríamos ter mathsf{x=0} no domínio da função. Como

mathsf{0ot in Dom(R),}

não é possível computar o valor da função quando mathsf{x=0}.

Portanto, não há interseções com o eixo y.

______

•   Interseções com o eixo x (raízes da função):

Fazendo mathsf{y=0:}

mathsf{ell n!left(dfrac{sqrt{x+8}}{x-4}ight)=0}\ mathsf{dfrac{sqrt{x+8}}{x-4}=e^0}\ mathsf{dfrac{sqrt{x+8}}{x-4}=1}\ mathsf{sqrt{x+8}=x-4}

Devemos resolver a equação acima, levando em conta que x só poderá assumir valores no domínio (maiores que 4).

mathsf{(sqrt{x+8})^2=(x-4)^2}\ mathsf{x+8=x^2-8x+16}\ mathsf{0=x^2-8x+16-x-8}\ mathsf{x^2-9x+8=0}
 

Vou usar o método de fatoração por agrupamento para resolver a equação do 2º grau acima.

Reescreva convenientemente -9x como -8x-x, e fatore por agrupamento o lado esquerdo:

mathsf{x^2-8x-x+8=0}\ mathsf{x(x-8)-1(x-8)=0}\ mathsf{(x-8)(x-1)=0}\ egin{array}{rcl} mathsf{x-8=0}&~	extsf{ ou }~&mathsf{x-1=0}\ mathsf{x=8}&~	extsf{ ou }~&mathsf{x=-1}~~	extsf{(n~ao serve, pois }mathsf{-1

Portanto, temos apenas uma interseção com o eixo x: Quando mathsf{x=8:}

mathsf{y=R(8)}\ mathsf{y=ell n!left(dfrac{sqrt{8+8}}{8-4}ight)}\ mathsf{y=ell n!left(dfrac{sqrt{16}}{4}ight)}\ mathsf{y=ell n!left(dfrac{4}{4}ight)}\ mathsf{y=ell n,1}\ mathsf{y=0qquadcheckmark}

A interseção com o eixo x ocorre no ponto mathsf{(8,,0).}

___________

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Bons estudos! :-)

Tags: domínio função real logaritmo ln raiz quadrada fração quociente inequação conjunto intervalo interseção eixo coordenado zero​

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