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Felipe Faro

1) Por translação dos eixos coordenados à nova origem (-2,0), seguida pela rotação dos eixos de um ângulo de , a equação de um certo lugar geométrico é transformado em . Determinar a equação do lugar geométrico em relação aos eixos originais.

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Fpara Catarina

Resposta:  ig(x+sqrt{3},y+2ig)^2-2cdot ig(!-!sqrt{3},x+y-2sqrt{3}ig)^2=8.

Explicação passo a passo:

Translação de eixos para a nova origem:

    O'(-2,,0)quadLongrightarrowquadegin{cases}h=-2\ k=0 end{cases}

Rotação dos eixos a um ângulo heta=dfrac{pi}{3} no sentido anti-horário.

    heta=dfrac{pi}{3}quadLongrightarrowquadegin{cases}~cos heta=dfrac{1}{2}\\ ~mathrm{sen,} heta=dfrac{sqrt{3}}{2} end{cases}

Após estas transformações, a equação o lugar geométrico no novo sistema de coordenadas é x'O'y' é x'^2-2y'^2=2.

Para determinar a equação do lugar geométrico no sistema de coordenadas original xOy, usamos a relação de transformação abaixo:

    egin{bmatrix}x'\y'end{bmatrix}=egin{bmatrix}cos heta& mathrm{sen,} heta\ -,mathrm{sen,} heta&cos hetaend{bmatrix}cdot egin{bmatrix}x-h\y-kend{bmatrix}

    Longleftrightarrowquadegin{bmatrix}x'\y'end{bmatrix}=egin{bmatrix}frac{1}{2}&frac{sqrt{3}}{2}\\ -,frac{sqrt{3}}{2} &frac{1}{2}end{bmatrix}cdot egin{bmatrix}x-(-2)\y-0end{bmatrix}

    Longleftrightarrowquadegin{bmatrix}x'\y'end{bmatrix}=dfrac{1}{2}cdot egin{bmatrix}1&sqrt{3}\ -,sqrt{3}&1end{bmatrix}cdot egin{bmatrix}x+2\yend{bmatrix}

    Longleftrightarrowquadegin{bmatrix}x'\y'end{bmatrix}=dfrac{1}{2}cdot egin{bmatrix}1cdot (x+2)+sqrt{3}cdot y\ -,sqrt{3}cdot (x+2)+1cdot yend{bmatrix}

    Longleftrightarrowquad egin{matrix}x'\ y' end{bmatrix}=dfrac{1}{2}cdot left[egin{array}{rcrcr}x&!!!+!!!&sqrt{3},y&!!!+!!!&2\\-,sqrt{3},x&!!!+!!!&y&!!!-!!!&2sqrt{3}end{array} ight]\\\\ Longleftrightarrowquad egin{cases}~x'=dfrac{1}{2}cdot ig(x+sqrt{3},y+2ig)\\ ~y'=dfrac{1}{2}cdot ig(!-!sqrt{3},x+y-2sqrt{3}ig) end{cases}

Substituindo na equação, obtemos

    Longrightarrowquad left(frac{1}{2}cdot ig(x+sqrt{3},y+2ig) ight )^{!2}-2cdot left(frac{1}{2}cdot ig(!-!sqrt{3},x+y-2sqrt{3}ig) ight )^{!2}=2\\\ Longleftrightarrowquad dfrac{1}{4}cdot ig(x+sqrt{3},y+2ig)^2-2cdot dfrac{1}{4}cdot ig(!-!sqrt{3},x+y-2sqrt{3}ig)^2=2

Multiplicando ambos os lados por 4, obtemos

    Longleftrightarrowquad ig(x+sqrt{3},y+2ig)^2-2cdot ig(!-!sqrt{3},x+y-2sqrt{3}ig)^2=8quadlongleftarrowquadmathsf{resposta.}

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