20) Obtenha o centro c e o raio r da circunferência cuja equa...

20) Obtenha o centro c e o raio r da circunferência cuja equação geral é dada por x 2 + y2 - 8x + 10y + 2 = 0.


20) Obtenha o centro c e o raio r da circunferência cuja equação geral é dada por x 2 + y2 - 8x + 1

1 Resposta

Lauraa

oxed{old{As~coordenadas~do~centro~s~ao~(4,,-5)~e~seu~raio~mede~sqrt{39}~u.~c}}

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja a circunferência de equação geral dada por: x^2+y^2-8x+10y+2=0.

Para encontrarmos as coordenadas do seu centro e a medida de seu raio, podemos utilizar as fórmula cedidas pelo enunciado.

Porém, utilizaremos o método de completar quadrados. Essencialmente, se trata do mesmo processo, mas devem-se comparar, ao final, as equações reduzidas.

Primeiro, analisamos os coeficientes dos termos de grau 1: -8x e 10y.

Neste caso, dividimos seus coeficientes por 2 e somamos os quadrados destes números à equação:

dfrac{-8}{2}=-4 e dfrac{10}{2}=5

De acordo com o enunciado, encontrarmos os números opostos às coordenadas do centro desta circunferência.

Somando os quadrados destes números à equação, temos

x^2+y^2-8x+10y+2+old{(-4)^2+5^2=(-4)^2+5^2}

Calcule as potências

x^2+y^2-8x+10y+2+16+25=16+25

Reorganize os termos, de forma que

x^2-8x+16+y^2+10y+25+2=16+25

Fatore os trinômios quadrados perfeitos e some os valores

(x-4)^2+(y+5)^2+2=41

Subtraia 2 em ambos os lados da equação

(x-4)^2+(y+5)^2=39

Comparando esta equação à equação reduzida de uma circunferência de centro (x_c,~y_c) e raio r: (x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2, temos

egin{cases}(x-4)^2+(y+5)^2=39\(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2\end{cases}Rightarrow~x_c=4,~y_c=-5,~r^2=39

Retirando a raiz em ambos os lados da equação em r, teremos

r=sqrt{39} (aqui, assumimos somente a solução positiva)

Dessa forma, conclui-se que:

As coordenadas do centro desta circunferência são (4,,-5) e seu raio mede sqrt{39}~u.~c.

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