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A área do paralelogramo formado pelos vetores u=(-1,2,1) e v=(...

Souleandro

A área do paralelogramo formado pelos vetores u=(-1,2,1) e v=(2,0,-2) é:

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Elianeluiz

Explicação passo-a-passo:

Vide explicação

A área do paralelogramo formado por dois vetores no V³ pode ser obtida pela norma do produto vetorial entre os dois vetores, denotado por:

||vec{u}wedgevec{v}||

Irei fazer o produto desevolvendo a matriz:

vec{u} wedge vec{v} = left[egin{array}{ccc}vec{i}&vec{j}&vec{k}u_1&u_2&u_3v_1&v_2&v_3end{array}ight]

Lembrando que estou supondo uma base ortonormal! formada pelos vetores i, j e k.

vec{u} wedge vec{v} = left[egin{array}{ccc}vec{i}&vec{j}&vec{k}-1&2&12&0&-2end{array}ight]

Desenvolvendo a matriz temos:

vec{u}wedge vec{v} = vec{i}egin{bmatrix}2 & 1 � & -2end{bmatrix} -vec{j}egin{bmatrix}-1 & 1 2 & -2end{bmatrix}+vec{k}egin{bmatrix}-1 & 2 2 & 0end{bmatrix}

Resolvendo os determinantes temos:

vec{u}wedge vec{v} = -4vec{i} -4vec{k}

Vou chamar esse novo vetor de w, sabemos que:

vec{w} perp vec{v},; vec{w}perp vec{u}

Apenas para lembrar mesmo, não é significante para resolução, com isso temos que a área é a norma de w:

||vec{u}+vec{v}|| = ||vec{w}||

||vec{w}|| = sqrt{left(-4ight)^2+left(-4ight)^2} Rightarrow sqrt{2cdot 16} \||vec{w}|| = sqrt{32} \||vec{w}|| = 4sqrt{2}

Essa é a área do paralelogramo.

Qualquer dúvida respondo nos comentários

Obs:

Eu utilizo a simbologia de ^ para produtos vetoriais, também pode ser usado x, da seguinte forma:

ext{Produto vetorial entre um vetor u e um vetor v:}\vec{u} wedge vec{u}vec{u} imes vec{u}

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