Calcule [tex] \underset{{x \to \infty} }{lim} \: log \:\Bigg[...

$large sf underset{{x o infty} }{lim} : log :Bigg[ displaystylesum^{x}_{n=0} : displaystyleint^{x}_{0} dfrac{y^{n-1}.e^-frac{y}{e} }{e((n-1)!)^2}: dyBigg]$

Vamos lá. Primeiramente vamos resolver a integral. Podemos começar com uma substituição. Veja abaixo:

$huge sf dfrac{y}{e}=u Rightarrow edu=dy$

Se y/e = u, então podemos colocar que o limite dessa integral será até x/e. Reescrevemos a integral como:

$large sf underset{{x o infty} }{lim} : log :Bigg[ displaystylesum^{x}_{n=0} : displaystyleint^{dfrac{x}{e} }_{0} dfrac{e^{n-1}.u^{n-1}.e^{-u} }{e((n-1)!)^2}: e duBigg]$

Perceba que ficamos com e.u.e, pois se y/e=u, então > y=e.u. Assim fazemos essa multiplicação, e colocamos os mesmo expoentes

Podemos cortar o e, que está multiplicando o du, com o e que está dividindo o denominador.

$large sf underset{{x o infty} }{lim} : log :Bigg[ displaystylesum^{x}_{n=0} : displaystyleint^{dfrac{x}{e} }_{0} dfrac{e^{n-1}.u^{n-1}.e^{-u} }{ ot{e}((n-1)!)^2}: ot{e} duBigg]$

$large sf underset{{x o infty} }{lim} : log :Bigg[ displaystylesum^{x}_{n=0} : displaystyleint^{dfrac{x}{e} }_{0} dfrac{e^{n-1}.u^{n-1}.e^{-u} }{((n-1)!)^2}: duBigg]$

Como e^n-1, ((n-1)!)^2, são constantes e não fazem parte da substituição, podemos colocar para fora da integral

$large sf underset{{x o infty} }{lim} : log :Bigg[ displaystylesum^{x}_{n=0} dfrac{e^{n-1}}{((n-1)!)^2} : displaystyleint^{dfrac{x}{e} }_{0} u^{n-1}.e^{-u} : duBigg]$

Sabendo que x se aproxima do infinito, avaliando a condição dessa integral, podemos ver que ela é semelhante a função gama, que é dada por:

$Large Gamma(z) = displaystyleint^{infty}_{0} x^{z-1}.e^{-x} dx = (z-1)!$

Portanto temos que:

$large t underset{{x o infty} }{lim} displaystyleint^{dfrac{x}{e} }_{0} e^{n-1}.u^{n-1}.e^{-u} : du = Gamma(z) = (n-1)!$

$large sf underset{{x o infty} }{lim} : log :Bigg[ displaystylesum^{x}_{n=0} dfrac{e^{n-1}}{((n-1)!)^2} : displaystyleint^{dfrac{x}{e} }_{0} u^{n-1}.e^{-u} : duBigg]\\\large sf underset{{x o infty} }{lim} : log :Bigg[ displaystylesum^{x}_{n=0} dfrac{e^{n-1}}{((n-1)!)^2} : cdot (n-1)!Bigg]\\$

$large sf underset{{x o infty} }{lim} : log :Bigg[ displaystylesum^{x}_{n=0} dfrac{e^{n-1}}{((n-1)!)^2} : cdot (n-1)!Bigg]\\\large sf underset{{x o infty} }{lim} : log :Bigg[ displaystylesum^{x}_{n=0} dfrac{e^{n-1}cancel{(n-1)!}}{(n-1)!cancel{(n-1)!}} : Bigg]\\\large sf underset{{x o infty} }{lim} : log :Bigg[ displaystylesum^{x}_{n=0} dfrac{e^{n-1}}{(n-1)!} : Bigg]$

$large sf underset{{x o infty} }{lim} : log :Bigg[ displaystylesum^{x}_{n=0} dfrac{e^n}{n!} : Bigg]$

Pela séries de Mac Laurin, em torno de e^x, temos que:

$Large e^x =displaystyle sum^{infty}_{n=1} dfrac{x^n}{n!} Rightarrow e^e=displaystyle sum^{infty}_{n=1}dfrac{e^n}{n!}$