Considere a equação diferencial4y′′−4y′+y=0,onde y=y(x).Determ...

Question

Considere a equação diferencial4y′′−4y′+y=0,onde y=y(x).Determ...

Enzo Gabriel Ramalhete

há 3 anos

Considere a equação diferencial

4y′′−4y′+y=0,

onde y=y(x).

Determine a solução que satisfaz as condições

y′(0)=3 e y(0)=−1.

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Júnior Fonseca · Answer 1 · 2022-04-13T21:56:42-03:00

Resposta:

sf 4y''-4y+y=0

Supondo que y seja igual ao termo $sf e^{lambda x}$ , encontramos a equação característica:

$sf 4(e^{lambda x})''-4(e^{lambda x})'+e^{lambda x}=0$

vdots

$sf (4lambda^2-4lambda+1)cdot e^{lambda x}=0$

$sf 4lambda^2-4lambda+1=0,e^{lambda x}eq0$

Ao encontrar suas raízes:

sf (2lambda)^2-2cdot2lambdacdot1+1^2=0

sf (2lambda-1)^2=0

sf |2lambda-1|=sqrt{0}

sf 2lambda-1=0

sf 2lambda=1

$sf lambda_{1,2}=frac{1}{2}$

Veremos que, por possuir duas raízes reais e iguais, a solução geral é definida por:

$sf y(x)=c_1cdot e^{lambda_1 x}+c_2cdot xe^{lambda_2x}$

$sf y(x)=c_1cdot e^{frac{1}{2}x}+c_2cdot xe^{frac{1}{2}x}$

Na qual derivando, obtém-se:

$sf y'(x)=frac{d}{dx}(c_1cdot e^{frac{1}{2}x}+c_2cdot xe^{frac{1}{2}x})$

$sf y'(x)=frac{d}{dx}(c_1cdot e^{frac{1}{2}x})+frac{d}{dx}(c_2cdot xe^{frac{1}{2}x})$

$sf y'(x)=c_1cdot frac{d}{dx}e^{frac{1}{2}x}+c_2cdot frac{d}{dx}xe^{frac{1}{2}x}$

$sf y'(x)=c_1cdot e^{frac{1}{2}x}cdotfrac{1}{2}+c_2cdot (frac{d}{dx}xcdot e^{frac{1}{2}x}+frac{d}{dx}e^{frac{1}{2}x}cdot x)$

$sf y'(x)=frac{1}{2}c_1cdot e^{frac{1}{2}x}+c_2cdot (1cdot e^{frac{1}{2}x}+e^{frac{1}{2}x}cdotfrac{1}{2}cdot x)$

$sf y'(x)=frac{1}{2}c_1cdot e^{frac{1}{2}x}+c_2cdot (e^{frac{1}{2}x}+frac{1}{2}xe^{frac{1}{2}x})$

$sf y'(x)=frac{1}{2}c_1cdot e^{frac{1}{2}x}+ c_2cdot e^{frac{1}{2}x}+c_2cdotfrac{1}{2}xe^{frac{1}{2}x}$

$sf y'(x)=frac{1}{2}(c_1cdot e^{frac{1}{2}x}+c_2cdot xe^{frac{1}{2}x})+c_2cdot e^{frac{1}{2}x}$

Assim já podemos partir para as condições impostas a fim de obter o valor das constantes arbitrárias.

Se y(0) = - 1, então:

$sf y(0)=c_1cdot e^{frac{1}{2}cdot0}+c_2cdot 0cdot e^{frac{1}{2}cdot0}=-,1$

sf c_1cdot e^0+0=-,1

sf c_1cdot 1=-,1

$underline{sf c_1=-,1}$

E se y'(0) = 3, então:

$sf y'(0)=frac{1}{2}(c_1cdot e^{frac{1}{2}cdot0}+c_2cdot 0cdot e^{frac{1}{2}cdot0})+c_2cdot e^{frac{1}{2}cdot0}=3$

$sf frac{1}{2}(c_1cdot e^0+0)+c_2cdot e^0=3$

$sf frac{1}{2}c_1cdot1+c_2cdot 1=3$

$sf frac{1}{2}c_1+c_2=3$

$sf c_2=3- frac{1}{2}c_1$

$sf c_2=3- frac{1}{2}(-1)$

$sf c_2=3+ frac{1}{2}$

$sf c_2=frac{6+1}{2}$

$underline{sf c_2=frac{7}{2}}$

Logo, a solução que obedece as condições dadas é:

$ed{oxed{sf y(x)=-,e^{frac{1}{2}x}+dfrac{7}{2}cdot xe^{frac{1}{2}x}}}$

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