Determine a equação da reta tangente à curva y =㏑(x² + 1) no p...

Primeiro vamos consolidar o ponto em que a reta tangente toca a curva, a questão nos fornece o valor de sua abscissa x, mas não a ordenada, então vamos descobrir justamente a ordenada, para isso basta substituir o valor de "x" na função:

$sf y = ln(x {}^{2} + 1 ) : : : : : para : x = 1 sf y = ln(1 {}^{2} + 1) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : sf y = ln(2) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :$

O valor de logaritmo natural de 2 é um número bem desordenado, então vamos manter ln(2), então o ponto é: sf P[1,ln(2)] .

Agora devemos encontrar o coeficiente angular dessa reta, nesse momento devemos lembrar que a definição algébrica de derivada é a representação do coeficiente angular, ou seja, o coeficiente dessa reta será dada pela derivada da função ln(x² + 1):

$sf frac{dy}{dx} = frac{d}{dx} [ ln(x {}^{2} + 1) ]$

Não será necessário usar a regra do produto, mas sim a regra da cadeia, dada pela seguinte relação $sf frac{dy}{dx} = frac{dy}{du}. frac{du}{dx}$ , antes de aplicar, vamos lembrar que a derivada da função logaritmo natural é dada por:

$sf frac{d}{dx} [ ln(x) ] = frac{1}{x}$

Agora podemos aplicar:

$sf frac{dy}{dx} = frac{d}{du} [ ln(x {}^{2} + 1) ] . frac{d}{dx} (x {}^{2} + 1) sf frac{dy}{dx} = frac{1}{x {}^{2} + 1} .2x : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : sf frac{dy}{dx} = frac{2x}{x {}^{2} + 1 } : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :$

Se a derivada é o coeficiente angular, podemos dizer então que ela representa o valor de "m" de uma reta, então:

$sf m = frac{2x}{x {}^{2} + 1}$

Substituindo o valor da abscissa que é 1, temos que o valor de "m" é:

$sf m = frac{2.1}{1 {}^{2} + 1 } sf m = frac{2}{2} : : : : : : : : : : oxed{ sf m = 1} : : : : : : : : : :$

A representação de uma reta é dada por:

sf y - y_0 = m.(x - x_0)

Substituindo os valores nos seus devidos locais:

sf y - ln(2) = 1.(x - 1) sf y - ln(2) = x - 1 : : : : : : : oxed{sf y = x - 1 + ln(2)} : : : : : : :

Espero ter ajudado

Determine a equação da reta tangente à curva y =㏑(x² + 1) no p...

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