Determine a área delimitada pelas curvas y=1/8(x²-2-8) e o eixo x que é y=o

Vamos determinar a **área delimitada pela curva** $y = \frac{1}{8}(x^2 - 2x - 8)$ e o **eixo $x$**, ou seja, a região entre essa parábola e a reta $y = 0$ (o eixo horizontal), nos pontos em que a curva cruza ou está acima do eixo.

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### **Passo 1: Reescrever a função**

Temos:

$<br/>y=\frac{1}{8}(x^2-2x-8)<br/>$
y = \frac{1}{8}(x^2 - 2x - 8)

Vamos simplificar a expressão:

$<br/>y=\frac{1}{8}{x}^2-\frac{1}{4}x-1<br/>$
y = \frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{4}x - 1

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### **Passo 2: Encontrar os pontos de interseção com o eixo $x$**

Para isso, fazemos $y = 0$:

$<br/>\frac{1}{8}{x}^2-\frac{1}{4}x-1=0<br/>$
\frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{4}x - 1 = 0

Multiplicamos tudo por 8 para eliminar os denominadores:

$<br/>x^2-2x-8=0<br/>$
x^2 - 2x - 8 = 0

Agora resolvemos a equação quadrática:

$<br/>x=\frac{-(-2)\pm \sqrt{(-2{)}^2-4(1\left)\right(-8)}}{2\left(1\right)}=\frac{2\pm \sqrt{4+32}}{2}=\frac{2\pm \sqrt{36}}{2}=\frac{2\pm 6}{2}<br/>$
x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}

$<br/>x_1=\frac{2+6}{2}=4 \text{e} x_2=\frac{2-6}{2}=-2<br/>$
x_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4 \quad \text{e} \quad x_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2

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### **Passo 3: Calcular a área entre a curva e o eixo x**

A área entre a curva e o eixo $x$, entre $x = -2$ e $x = 4$, será:

$<br/>A={\int }_{-2}^4\left|\frac{1}{8}{x}^2-\frac{1}{4}x-1\right|dx<br/>$
A = \int_{-2}^{4} \left| \frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{4}x - 1 \right| dx

Mas precisamos verificar o **sinal** da função nesse intervalo, pois a área deve ser **positiva**.

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#### **Analisando o gráfico:**

A função é uma parábola voltada para cima, e os **pontos de interseção com o eixo x** são em $x = -2$ e $x = 4$. Isso significa que **entre esses pontos, a função está abaixo do eixo x**, ou seja, a função é negativa nesse intervalo.

Portanto, a área será:

$<br/>A=-{\int }_{-2}^4\left(\frac{1}{8}{x}^2-\frac{1}{4}x-1\right)dx<br/>$
A = - \int_{-2}^{4} \left( \frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{4}x - 1 \right) dx

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### **Passo 4: Resolver a integral**

Vamos integrar:

$<br/>A=-{\int }_{-2}^4\left(\frac{1}{8}{x}^2-\frac{1}{4}x-1\right)dx<br/>$
A = - \int_{-2}^{4} \left( \frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{4}x - 1 \right) dx

Separando:

$<br/>A=-\left[\frac{1}{8}{\int }_{-2}^4{x}^{2}dx-\frac{1}{4}{\int }_{-2}^{4}xdx-{\int }_{-2}^{4}1dx\right]<br/>$
A = - \left[ \frac{1}{8} \int_{-2}^{4} x^2 dx - \frac{1}{4} \int_{-2}^{4} x dx - \int_{-2}^{4} 1 dx \right]

Calculando cada termo:

* $\int_{-2}^{4} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{4} = \frac{4^3}{3} - \frac{(-2)^3}{3} = \frac{64}{3} - \frac{-8}{3} = \frac{72}{3} = 24$

* $\int_{-2}^{4} x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{4} = \frac{16}{2} - \frac{4}{2} = 8 - 2 = 6$

* $\int_{-2}^{4} 1 dx = [x]_{-2}^{4} = 4 - (-2) = 6$

Substituindo:

$<br/>A=-\left[\frac{1}{8}\left(24\right)-\frac{1}{4}\left(6\right)-6\right]=-\left[3-1.5-6\right]=-(-4.5)=4.5<br/>$
A = - \left[ \frac{1}{8}(24) - \frac{1}{4}(6) - 6 \right] = - \left[ 3 - 1.5 - 6 \right] = - ( -4.5 ) = 4.5

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### ✅ **Resposta final:**

$<br/>\boxed{\text{Área}=4,5\text{ unidades quadradas}}<br/>$
\boxed{\text{Área} = 4{,}5 \text{ unidades quadradas}}