Determine a solução da inequação -2x^2+7x-3< 0

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__________

Resolver a inequação:

$mathsf{mathsf{-2x^2+7x-3$

Vamos fatorar o lado esquerdo da inequação acima. Para isso, vamos encontrar as raízes pela fórmula resolutiva:

$left{!egin{array}{l} mathsf{a=-2}mathsf{b=7}mathsf{c=-3} end{array}ight.\\ mathsf{Delta=b^2-4ac}\ mathsf{Delta=7^2-4cdot (-2)cdot (-3)}\ mathsf{Delta=49-24}\ mathsf{Delta=25}$

$egin{array}{rcl} mathsf{r_1=dfrac{-b+sqrt{Delta}}{2a}}&~ extsf{ e }~&mathsf{r_2=dfrac{-b-sqrt{Delta}}{2a}}\ mathsf{r_1=dfrac{-7+sqrt{25}}{2cdot (-2)}}&~ extsf{ e }~&mathsf{r_2=dfrac{-7-sqrt{25}}{2cdot (-2)}}end{array}$

$egin{array}{rcl} mathsf{r_1=dfrac{-7+5}{-4}}&~ extsf{ e }~&mathsf{r_2=dfrac{-7-5}{-4}}\ mathsf{r_1=dfrac{-2}{-4}}&~ extsf{ e }~&mathsf{r_2=dfrac{-12}{-4}}\ mathsf{r_1=dfrac{1}{2}}&~ extsf{ e }~&mathsf{r_2=3}quadlongleftarrowquad extsf{(ra'izes)} end{array}$

Então, fatorando o lado esquerdo, a inequação fica

$mathsf{-2(x-r_1)(x-r_2)$

Dividindo os dois lados por – 2, que é negativo, o sentido da desigualdade se inverte:

(o sinal < torna-se >)

$mathsf{left(x-frac{1}{2}ight)(x-3)0}quadlongleftarrowquad extsf{inequac{c}~ao-produto}$

Montando o quadro de sinais:

$largeegin{array}{cc} mathsf{x-frac{1}{2}}&quadmathsf{underline{~~---}underset{frac{1}{2}}{ullet}underline{++++}underset{3}{ullet}mathsf{underline{+++~~}}_lacktriangleright}\ mathsf{x-3}&quadmathsf{underline{~~---}underset{frac{1}{2}}{ullet}underline{----}underset{3}{ullet}mathsf{underline{+++~~}}_lacktriangleright}\ mathsf{left(x-frac{1}{2}ight)(x-3)}&quadmathsf{underline{~~+++}underset{frac{1}{2}}{ullet}underline{----}underset{3}{ullet}mathsf{underline{+++~~}}_lacktriangleright} end{array}$

Como queremos que o lado esquerdo da inequação-produto seja positivo, o intervalo de interesse é

mathsf{x 3.}

Conjunto solução: $mathsf{S=left{xinmathbb{R}:~x< frac{1}{2}~~ou~~x 3ight}}$

ou usando a notação de intervalos

$mathsf{S=left]-infty,,frac{1}{2}ight[,cup,left]3,,+inftyight[.}$

Bons estudos! :-)

Tags: inequação quadrática segundo grau função discriminante báscara solução resolver álgebra

Determine a solução da inequação -2x^2+7x-3< 0

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