✅ Dada a tripla de vetores no espaço, podemos determinar constantes na forma ![m (mathbb{C}_1, mathbb{C}_2, mathbb{C}_3) = (-2mathbb{C}_3, -mathbb{C}_3, mathbb{C}_3) ,~~forall~mathbb{C}_3in mathbb{R}]( "m (mathbb{C}_1, mathbb{C}_2, mathbb{C}_3) = (-2mathbb{C}_3, -mathbb{C}_3, mathbb{C}_3) ,~~forall~mathbb{C}_3in mathbb{R}")
. Por conseguinte os vetores são linearmente dependentes ( ![m L.D.]( "m L.D.")
).
☁️ Definição 1: Os vetores ![m vec{v}_1, vec{v}_2, ldots , vec{v}_n]( "m vec{v}_1, vec{v}_2, ldots , vec{v}_n")
são linearmente dependentes se e somente se existirem constantes ![m mathbb{C}_1, mathbb{C}_2, ldots , mathbb{C}_n]( "m mathbb{C}_1, mathbb{C}_2, ldots , mathbb{C}_n")
, nem todas nulas, tal que a combinação linear dessas constantes com os vetores seja igual ao vetor nulo do espaço em questão.
![Large underline{oxed{oxed{
mqquad mathbb{C}_1vec{v}_1+mathbb{C}_2vec{v}_2+ldots +mathbb{C}_nvec{v}_n = vec{0} qquad}}}]( "Large underline{oxed{oxed{
mqquad mathbb{C}_1vec{v}_1+mathbb{C}_2vec{v}_2+ldots +mathbb{C}_nvec{v}_n = vec{0} qquad}}}")
☁️ Definição 2: Os vetores ![m vec{v}_1, vec{v}_2, ldots , vec{v}_n]( "m vec{v}_1, vec{v}_2, ldots , vec{v}_n")
são linearmente independentes se e somente se existirem constantes ![m mathbb{C}_1, mathbb{C}_2, ldots , mathbb{C}_n]( "m mathbb{C}_1, mathbb{C}_2, ldots , mathbb{C}_n")
, tal que a combinação linear dessas constantes com os vetores seja igual ao vetor nulo do espaço em questão e a solução do sistema seja a solução trivial ![m mathbb{C}_1 =mathbb{C}_2 = ldots = mathbb{C}_n = 0]( "m mathbb{C}_1 =mathbb{C}_2 = ldots = mathbb{C}_n = 0")
![Large underline{oxed{oxed{
mqquad mathbb{C}_1vec{v}_1+mathbb{C}_2vec{v}_2+ldots +mathbb{C}_nvec{v}_n = vec{0} ~|~mathbb{C}_1 =mathbb{C}_2 = ldots = mathbb{C}_n = 0 qquad}}}]( "Large underline{oxed{oxed{
mqquad mathbb{C}_1vec{v}_1+mathbb{C}_2vec{v}_2+ldots +mathbb{C}_nvec{v}_n = vec{0} ~|~mathbb{C}_1 =mathbb{C}_2 = ldots = mathbb{C}_n = 0 qquad}}}")
⚠️ Note que os três vetores dados são do espaço vetorial ![m V^3]( "m V^3")
e irão formar um sistema de três equações e três incógnitas. Dessa forma, nossa tarefa é descobrir o valor das constantes ![m mathbb{C}_1, mathbb{C}_2, mathbb{C}_3]( "m mathbb{C}_1, mathbb{C}_2, mathbb{C}_3")
✍️ Solução:
![largeegin{array}{lr}
m mathbb{C}_1 (1,1,2) + mathbb{C}_2 (2,3,1) + mathbb{C}_3 (4,5,5) = (0,0,0) \\
m (mathbb{C}_1, mathbb{C}_1, 2 mathbb{C}_1) + ( 2mathbb{C}_2, 3mathbb{C}_2, mathbb{C}_2) + ( 4mathbb{C}_3, 5mathbb{C}_3, 5mathbb{C}_3) = (0,0,0) \\
m (mathbb{C}_1 + 2mathbb{C}_2 + 4mathbb{C}_3), (mathbb{C}_1 + 3mathbb{C}_2 + 5mathbb{C}_3), (2mathbb{C}_1 + mathbb{C}_2 + 5mathbb{C}_3) = (0,0,0) end{array}]( "largeegin{array}{lr}
m mathbb{C}_1 (1,1,2) + mathbb{C}_2 (2,3,1) + mathbb{C}_3 (4,5,5) = (0,0,0) \\
m (mathbb{C}_1, mathbb{C}_1, 2 mathbb{C}_1) + ( 2mathbb{C}_2, 3mathbb{C}_2, mathbb{C}_2) + ( 4mathbb{C}_3, 5mathbb{C}_3, 5mathbb{C}_3) = (0,0,0) \\
m (mathbb{C}_1 + 2mathbb{C}_2 + 4mathbb{C}_3), (mathbb{C}_1 + 3mathbb{C}_2 + 5mathbb{C}_3), (2mathbb{C}_1 + mathbb{C}_2 + 5mathbb{C}_3) = (0,0,0) end{array}")
O que resulta no sistema:
![largeegin{array}{lr}
m egin{cases}
m mathbb{C}_1 + 2mathbb{C}_2 + 4mathbb{C}_3 = 0 \
m mathbb{C}_1 + 3mathbb{C}_2 + 5mathbb{C}_3 = 0 \
m 2mathbb{C}_1 + mathbb{C}_2 + 5mathbb{C}_3 = 0 end{cases}end{array}]( "largeegin{array}{lr}
m egin{cases}
m mathbb{C}_1 + 2mathbb{C}_2 + 4mathbb{C}_3 = 0 \
m mathbb{C}_1 + 3mathbb{C}_2 + 5mathbb{C}_3 = 0 \
m 2mathbb{C}_1 + mathbb{C}_2 + 5mathbb{C}_3 = 0 end{cases}end{array}")
Isolar ![m mathbb{C}_2]( "m mathbb{C}_2")
na 3ª equação é bem tentador:
![largeegin{array}{lr}
m mathbb{C}_2 = -2mathbb{C}_1 - 5mathbb{C}_3 end{array}]( "largeegin{array}{lr}
m mathbb{C}_2 = -2mathbb{C}_1 - 5mathbb{C}_3 end{array}")
Substituindo ![m mathbb{C}_2]( "m mathbb{C}_2")
na 2ª equação, teremos:
![largeegin{array}{lr}
m mathbb{C}_1 + 3(-2mathbb{C}_1 - 5mathbb{C}_3) + 5mathbb{C}_3 = 0 Rightarrow\\
m mathbb{C}_1 + -6mathbb{C}_1 - 15mathbb{C}_3 + 5mathbb{C}_3 = 0 Rightarrow \\
m -5mathbb{C}_1 - 10mathbb{C}_3 = 0 Rightarrow \\
m herefore:mathbb{C}_1 = -2mathbb{C}_3 end{array}]( "largeegin{array}{lr}
m mathbb{C}_1 + 3(-2mathbb{C}_1 - 5mathbb{C}_3) + 5mathbb{C}_3 = 0 Rightarrow\\
m mathbb{C}_1 + -6mathbb{C}_1 - 15mathbb{C}_3 + 5mathbb{C}_3 = 0 Rightarrow \\
m -5mathbb{C}_1 - 10mathbb{C}_3 = 0 Rightarrow \\
m herefore:mathbb{C}_1 = -2mathbb{C}_3 end{array}")
Aplicando ![m mathbb{C}_1]( "m mathbb{C}_1")
em ![m -2mathbb{C}_1 - 5mathbb{C}_3]( "m -2mathbb{C}_1 - 5mathbb{C}_3")
![largeegin{array}{lr}
m mathbb{C}_2 = -2(-2mathbb{C}_3) - 5mathbb{C}_3 Rightarrow \\
m herefore: mathbb{C}_2 = -mathbb{C}_3 end{array}]( "largeegin{array}{lr}
m mathbb{C}_2 = -2(-2mathbb{C}_3) - 5mathbb{C}_3 Rightarrow \\
m herefore: mathbb{C}_2 = -mathbb{C}_3 end{array}")
Jogando ![m mathbb{C}_1]( "m mathbb{C}_1")
e ![m mathbb{C}_2]( "m mathbb{C}_2")
na primeira equação, obtemos:
![largeegin{array}{lr}
m mathbb{C}_1 + 2mathbb{C}_2 + 4mathbb{C}_3 = 0 Rightarrow \\
m -2mathbb{C}_3 + 2(-mathbb{C}_3) + 4mathbb{C}_3 = 0 Rightarrow\\
m -4mathbb{C}_3 + 4mathbb{C}_3 = 0 Rightarrow \\
m 0 = 0 end{array}]( "largeegin{array}{lr}
m mathbb{C}_1 + 2mathbb{C}_2 + 4mathbb{C}_3 = 0 Rightarrow \\
m -2mathbb{C}_3 + 2(-mathbb{C}_3) + 4mathbb{C}_3 = 0 Rightarrow\\
m -4mathbb{C}_3 + 4mathbb{C}_3 = 0 Rightarrow \\
m 0 = 0 end{array}")
❏ Portanto, as constantes serão:
![largeegin{array}{lr}
ed{underline{oxed{oxed{
m herefore: (mathbb{C}_1, mathbb{C}_2, mathbb{C}_3) = (-2mathbb{C}_3, -mathbb{C}_3, mathbb{C}_3) ,~~forall~mathbb{C}_3in mathbb{R} }}}} end{array}]( "largeegin{array}{lr}
ed{underline{oxed{oxed{
m herefore: (mathbb{C}_1, mathbb{C}_2, mathbb{C}_3) = (-2mathbb{C}_3, -mathbb{C}_3, mathbb{C}_3) ,~~forall~mathbb{C}_3in mathbb{R} }}}} end{array}")
✔ Isso prova que os vetores ![m (1,1,2), (2,3,1), (4,5,5)]( "m (1,1,2), (2,3,1), (4,5,5)")
são linearmente dependentes, pois adimite quaisquer constantes, tais que, ![m (mathbb{C}_1, mathbb{C}_2, mathbb{C}_3) = (-2mathbb{C}_3, -mathbb{C}_3, mathbb{C}_3)]( "m (mathbb{C}_1, mathbb{C}_2, mathbb{C}_3) = (-2mathbb{C}_3, -mathbb{C}_3, mathbb{C}_3)")
, ou seja, não somente a solução trivial.
