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Escreva na forma trigonométrica: 2 - 2√3i

Vitor Médici

Escreva na forma trigonométrica:
2 - 2√3i

1 Resposta

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Calebe Borsoi

Resposta: 2-2sqrt{3},i=4cdot left(cosdfrac{5pi}{3}+icdot mathrm{sen,}dfrac{5pi}{3}ight).

Explicação passo a passo:

Dado um número complexo z=a+bi, com a,,binmathbb{R},,a^2+b^2e 0 e i=sqrt{-1}, a sua forma trigonométrica é obtida da seguinte forma:

Encontramos o módulo de z, que é dado por

|z|=sqrt{a^2+b^2}qquadmathrm{(i)}

Depois, devemos encontrar o argumento de z, que é o ângulo θ tal que

left{egin{array}{l}cos heta=dfrac{a}{|z|}=dfrac{a}{sqrt{a^2+b^2}}\ mathrm{sen,} heta=dfrac{b}{|z|}=dfrac{b}{sqrt{a^2+b^2}}end{array}ight.qquadmathrm{(ii)}

com 0le heta

A forma trigonométrica de z é

z=|z|cdot (cos heta+icdot mathrm{sen,} heta)qquadmathrm{(iii)}

Para esta tarefa, temos

z=2-2sqrt{3},iquadLongrightarrowquad left{egin{array}{l}a=2\ b=-2sqrt{3}end{array}ight.

Calculando o módulo de z:

|z|=sqrt{a^2+b^2}\ Longrightarrowquad |z|=sqrt{(2)^2+(-2sqrt{3})^2}\ Longleftrightarrowquad |z|=sqrt{4+12}\ Longleftrightarrowquad |z|=sqrt{16}=4

Calculando o argumento de z:

left{egin{array}{l}cos heta=dfrac{a}{|z|}=dfrac{a}{sqrt{a^2+b^2}}\ mathrm{sen,} heta=dfrac{b}{|z|}=dfrac{b}{sqrt{a^2+b^2}}end{array}ight.

Longrightarrowquadleft{egin{array}{l}cos heta=dfrac{2}{4}=dfrac{1}{2}\ mathrm{sen,} heta=dfrac{-2sqrt{3}}{4}=-,dfrac{sqrt{3}}{2}end{array}ight.

Logo, o argumento de z é heta=dfrac{5pi}{3}.

Escrevendo z na forma trigonométrica:

z=4cdot left(cosdfrac{5pi}{3}+icdot mathrm{sen,}dfrac{5pi}{3}ight)quadlongleftarrowquadmathsf{resposta.}

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