O custo e a receita total com a produção e comer...

Para resolver o problema, precisamos entender as funções de custo C(q)C(q)C(q) e receita R(q)R(q)R(q) dadas. Vamos organizar as informações:

Custo: C(q)=6002.24+10q+0.00642q2C(q) = 6002.24 + 10q + 0.00642q^2C(q)=6002.24+10q+0.00642q2

Receita: R(q)=R(q)R(q) = R(q)R(q)=R(q) (não foi fornecida, mas sabemos que R(q)R(q)R(q) deve ser uma função linear do tipo R(q)=p⋅qR(q) = p \\cdot qR(q)=p⋅q, onde ppp é o preço de venda por unidade)

O lucro L(q)L(q)L(q) pode ser definido como L(q)=R(q)−C(q)L(q) = R(q) - C(q)L(q)=R(q)−C(q).

(a) Encontrar a quantidade qqq que maximiza o lucro

Para maximizar o lucro, devemos derivar a função lucro e igualá-la a zero:

L(q)=R(q)−C(q)L(q) = R(q) - C(q)L(q)=R(q)−C(q)

Como a receita não foi especificada, assumiremos que a função receita é R(q)=p⋅qR(q) = p \\cdot qR(q)=p⋅q. Vamos expressar o lucro:

L(q)=p⋅q−(6002.24+10q+0.00642q2)L(q) = p \\cdot q - (6002.24 + 10q + 0.00642q^2)L(q)=p⋅q−(6002.24+10q+0.00642q2)

Derivando:

L′(q)=p−(10+0.01284q)L'(q) = p - (10 + 0.01284q)L′(q)=p−(10+0.01284q)

Igualando a derivada a zero para maximizar:

p−(10+0.01284q)=0p - (10 + 0.01284q) = 0p−(10+0.01284q)=0

Isso fornece:

q=p−100.01284q = \\frac{p - 10}{0.01284}q=0.01284p−10​

(b) Qual o nível de produção que minimiza o lucro?

Para encontrar o nível de produção que minimiza o lucro, devemos encontrar o ponto em que a receita é igual ao custo (ou seja, lucro é zero):

R(q)=C(q)R(q) = C(q)R(q)=C(q)

Ou seja:

p⋅q=6002.24+10q+0.00642q2p \\cdot q = 6002.24 + 10q + 0.00642q^2p⋅q=6002.24+10q+0.00642q2

Esse será um problema quadrático que podemos resolver para qqq.

(c) Qual o nível de produção correspondente ao prejuízo máximo?

O prejuízo máximo ocorre quando a receita é mínima e os custos são máximos ou, em outras palavras, quando não há vendas. Para determinar esse ponto, precisamos verificar quando a receita se torna zero ou negativa.

Resolvendo

Como não temos o valor de ppp (preço de venda por unidade), precisaremos desse dado para continuar. Se você puder fornecer o preço ou se houver outra condição, poderemos avançar na resolução das partes (a), (b) e (c) do problema.