Resolva a inequação modular: [tex]\frac{1}{|x + 1| . |x - 3|}\...

$|x+1|cdot |x-3|e 0\Longleftrightarrowquad |x+1|e 0quadmathrm{e}quad |x-3|e 0\Longleftrightarrowquad x+1e 0quadmathrm{e}quad x-3e 0\Longleftrightarrowquad xe -1quadmathrm{e}quad xe 3qquadmathrm{(ii)}$

Resolvendo a inequação:

Isole todos os termos no mesmo lado da desigualdade:

$Longleftrightarrowquaddfrac{1}{|x+1|cdot |x-3|}-dfrac{1}{5}ge 0$

Reduza as frações a um mesmo denominador comum:

$Longleftrightarrowquaddfrac{5}{5cdot |x+1|cdot |x-3|}-dfrac{|x+1|cdot |x-3|}{5cdot |x+1|cdot |x-3|}ge 0\ Longleftrightarrowquaddfrac{5-|x+1|cdot |x-3|}{5cdot |x+1|cdot |x-3|}ge 0\ Longleftrightarrowquaddfrac{N(x)}{D(x)}ge 0 qquadmathrm{(iii)}$

com N(x)=5-|x+1|cdot |x-3| e D(x)=5cdot |x+1|cdot |x-3|.

O denominador D(x) é um produto de três fatores positivos, dadas as condições de existência (ii). Logo,

Longrightarrowquad D(x) > 0,qquadmathrm{para~todo~}xinmathbb{R}ackslash{-1,,3}qquadmathrm{(iv)}

Portanto, para que o quociente seja maior ou igual que zero, devemos ter

$Longrightarrowquad N(x)ge 0\ Longleftrightarrowquad 5-|x+1|cdot |x-3|ge 0$

Nos reais, o produto dos módulos é igual ao módulo do produto. Logo, a inequação acima fica

$Longleftrightarrowquad 5-|(x+1)cdot (x-3)|ge 0\ Longleftrightarrowquad 5-|x^2-3x+x-3|ge 0\ Longleftrightarrowquad 5-|x^2-2x-3|ge 0\ Longleftrightarrowquad |x^2-2x-3|le 5qquadmathrm{(v)}$

O módulo é menor ou igual que 5 para todos os números entre -5 e 5, inclusive:

$Longleftrightarrowquad -5le x^2-2x-3le 5\ Longleftrightarrowquad egin{cases}~-5le x^2-2x-3 ~x^2-2x-3le 5 end{cases}\ Longleftrightarrowquad egin{cases}~0le x^2-2x-3+5 ~x^2-2x-3-5le 0 end{cases}\ Longleftrightarrowquad egin{cases}~x^2-2x+2ge 0qquadmathrm{(vi)} ~x^2-2x-8le 0qquadmathrm{(vii)} end{cases}$

Resolvendo (vi):

Calculando o discriminante Delta do polinômio do 2º grau, temos

$P(x)=x^2-2x+2quadLongrightarrowquad a=1,~~b=-2,~~c=2\LongrightarrowquadDelta=b^2-4ac\LongleftrightarrowquadDelta=(-2)^2-4cdot 1cdot 2\ LongleftrightarrowquadDelta=4-8=-4 < 0$

Como o Delta é negativo, então P(x) não possui raízes reais. Isto significa que o gráfico de P(x) é uma parábola que não intersecta o eixo

Como o coeficiente quadrático é a=1>0, o gráfico de P(x) está localizado acima do eixo logo

$Longrightarrowquad P(x) > 0\ Longrightarrowquad P(x)ge 0,qquad mathrm{para~todo~}xinmathbb{R}$

Resolvendo (vii):

Vamos resolver usando completamento de quadrados:

$x^2-2x-8le 0\ Longleftrightarrowquad x^2-2xle 8$

Some 1 aos dois membros:

$Longleftrightarrowquad x^2-2x+1le 8+1\ Longleftrightarrowquad (x-1)^2le 9\$

Temos uma desigualdade que envolve apenas termos não negativos. Logo, a desigualdade vale para as raízes quadradas dos membros:

$Longleftrightarrowquad sqrt{(x-1)^2}lesqrt{9}\Longleftrightarrowquad |x-1|le 3$

(Atenção: $sqrt{a^2}=|a|,$ para todo ainmathbb{R}. )

O módulo é menor ou igual que 3 para todos os números entre -3 e 3, inclusive:

$Longleftrightarrowquad -3le x-1le 3\ Longleftrightarrowquad -3+1le x-1+1le 3+1\ Longleftrightarrowquad -2le xle 4qquadcheckmark$

ou em notação de intervalos xin[-2,,4].

Logo, o conjunto solução da inequação (i) é a interseção das soluções de (vi), (vii) e da condição de existência (ii):

S={xinmathbb{R}:~-2le x < -1mathrm{~~ou~~}-1 < x < 3~mathrm{~~ou~~}3 < xle 4}

ou em notação de intervalos,

S=[-2,,-1),cup,(-1,,3),cup,(3,,4]quadlongleftarrowquadmathsf{resposta.}

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)

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