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Seja A = {1,. . . , n}. Mostre que há uma bijeção entre P(A) e...

Mateus Caminha

Seja A = {1,. . . , n}. Mostre que há uma bijeção entre P(A) e o produto {0, 1}
n. (Construa a bijeção. )

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João Pedro Gomes

Explicação passo a passo:

Seja f:~P(A) o {0,,1}^n,,ninmathbb{N}^* uma função definida da seguinte forma:

Dado Xin P(A), definimos

    displaystyle f(X):=(y_1,,y_2,,ldots,,y_n)

tal que, para todo iin{1,,2,,ldots,,n}=A, temos

    y_i=left{egin{array}{ll}0,&mathrm{se,,e~somente~se~} iotin X 1,&mathrm{se,,e~somente~se~} iin X end{array}ight.

    displaystyleLongleftrightarrowquad f(X)=underset{iin X~Leftrightarrow~y_i=1}{underset{iotin X~Leftrightarrow~y_i=0}{prod_{iin A}}}{y_i}

Obs.: O símbolo displaystyleprod denota produto cartesiano.

Definindo desta forma, em particular, temos

    f(varnothing)={0}^n=underbrace{(0,,0,,ldots,,0)}_{nmathrm{~coordenadas}}\ f(A)={1}^n=underbrace{(1,,1,,ldots,,1)}_{nmathrm{~coordenadas}}

Resta-nos mostrar agora que f da forma que está definida é uma bijeção de P(A) em {0,,1}^n.

  • Mostrando que f é injetora.

Sejam X,,Yin P(A), tais que f(X)=f(Y)=(y_1,,y_2,,ldots,,y_n).

Logo, para todo iin A,

    y_i=egin{cases}0,&mathrm{se~}iotin Xoverset{f(X)=f(Y)}{qquad{Longleftrightarrow}qquad}iotin Y\ 1,&mathrm{se~}iin Xoverset{f(X)=f(Y)}{qquad{Longleftrightarrow}qquad}iin Yend{cases}

    Longrightarrowquad Xsubset Ymathrm{~~e~~}Ysubset X.

Logo, X e Y possuem exatamente os mesmos elementos, isto é,

    Longleftrightarrowquad X=YquadLongrightarrowquad fmathrm{~acute{e}~injetora.}qquadsquare

  • Mostrando que f é sobrejetora.

Dado (y_1,,y_2,,ldots,,y_n)in{0,,1}^n, existe Xin P(A) tal que

    displaystyle f(X)=(y_1,,y_2,,ldots,,y_n).

A saber, os elementos de X serão todos os naturais iin A, tais que y_i=1:

    displaystyle X=underset{y_i=1}{igcup_{iin A}} {i}.

Portanto, f é bijeção.          lacksquare

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