Sendo i a unidade imaginária, então (1 + i)20 – (1 – i)20 é i...

Achei que talvez você tenha digitado de forma equivocada então coloquei as duas soluções:

-Se você estiver falando de i*0 + i*1 +*2 +...+i*2013 temos uma soma simples, colocamos o i em evidência e ficamos com;

Para isso usamos a soma de uma Progressão Aritmética e temos:

R = i*(1+2013)*2013/2 = 2027091I

-Agora talvez você esteja querendo dizer i^0 + i^1 + i^2 +...+i^2013 temos um problema mais interessante. Observe o Padrão

i^0 = 1

i^1 = i

i^2 = -1

i^3 = -i

i^4=1

Isso se repete para o infinito. A cada 4 elementos nós realizamos a soma:

1 + i -1 -i = 0

Ou seja, as parcelas vão se anulado. Porém, isso acontece a cada 4 elementos. No final da soma de 2014 elementos (que vai do 0 a 2013) o ciclo se completa 503 vezes e sobram os últimos 2:

i^2013+i^2014

Note que eu sempre posso tirar múltiplos de 4 da potência. Olhe o que eu faço com o 2013:

i^2013 = (i^2009)*(i^4) (propriedade de potência)

= i^2009 * 1 (posso tirar múltiplos de quatro sem mudar o resultado)

Assim posso ver que:

i^2013+i^2014 = i^1 + i^2 = i -1

A resposta é i-1!

Bons estudos!