f(x) = x³-5x²+6x sobre x2-7x+10 e seu limite com x - 2 é

Podemos começar encontrando o limite de f(x) quando x se aproxima de 2. Sabemos que este limite é igual a 2/3, então podemos usar a definição de limite para encontrar os valores de a e L:

lim f(x) = L quando x se aproxima de a

lim [x³-5x²+6x)/(x²-7x+10)] = 2/3 quando x se aproxima de 2

Agora, podemos fazer algumas simplificações para chegar a uma equação que nos permita encontrar o valor de f(2):

lim [(x(x-5)+6)/(x-5)(x-2)] = 2/3 quando x se aproxima de 2

Podemos cancelar os fatores (x-5) da expressão:

lim [(x+6)/(x-2)] = 2/3 quando x se aproxima de 2

Substituindo x por 2, encontramos o valor de L:

L = lim [(x+6)/(x-2)] quando x se aproxima de 2 = (2+6)/(2-2) = 8/0, que é uma forma indeterminada. Para resolver a indeterminação, podemos aplicar a regra de L'Hôpital:

lim [(x+6)/(x-2)] quando x se aproxima de 2 = lim [1/(x-2)] quando x se aproxima de 2 = 1/0, que é uma indeterminação do tipo "infinito sobre infinito". Aplicando novamente a regra de L'Hôpital, encontramos:

lim [(x+6)/(x-2)] quando x se aproxima de 2 = lim [1] quando x se aproxima de 2 = 1

Portanto, temos que L = 1 e podemos usar essa informação para encontrar o valor de (lim f(x))²:

(lim f(x))² = (1)² = 1

Portanto, o valor do limite de f(x) ao quadrado é igual a 1.