A soma das soluções da equação trigonométrica cos 2x + 3 cos x...

$Longleftrightarrowquad (2cos^2 x-1)+3cos x=-2\\ Longleftrightarrowquad 2cos^2 x-1+3cos x+2=0\\ Longleftrightarrowquad 2cos^2 x+3cos x+1=0qquadmathrm{(iii)}$

Faça a seguinte mudança de variável:

cos x=y,quadmathrm{com~}-1le yle 1

e a equação (iii) se torna uma equação do 2° grau na variável y:

$Longrightarrowquad 2y^2+3y+1=0quadLongrightarrowquadleft{egin{array}{l}a=2\ b=3\ c=1end{array} ight.$

Resolvendo pela fórmula resolutiva de Báscara:

$Delta=b^2-4ac\\ LongrightarrowquadDelta=3^2-4cdot 2cdot 1\\ LongleftrightarrowquadDelta=9-8\\ LongleftrightarrowquadDelta=1$

$Longrightarrowquad y=dfrac{-bpm sqrt{Delta}}{2a}\\\ Longrightarrowquad y=dfrac{-3pm sqrt{1}}{2cdot 2}\\\ Longleftrightarrowquad y=dfrac{-3pm 1}{4}$

$egin{array}{lccc}Longleftrightarrowquad & y=dfrac{-3-1}{4}&~~mathrm{ou}~~&y=dfrac{-3+1}{4}\\ Longleftrightarrowquad & y=dfrac{-4}{4}&~~mathrm{ou}~~&y=dfrac{-2}{4}\\ Longleftrightarrowquad & y=-1&~~mathrm{ou}~~&y=-,dfrac{1}{2}end{array}$

Substituindo de volta y=cos x, temos

$egin{array}{lccc}Longrightarrowquad & cos x=-1&~~mathrm{ou}~~&cos x=-,dfrac{1}{2}\\ Longrightarrowquad & x=pi&~~mathrm{ou}~~& xinleft{dfrac{2pi}{3},,dfrac{4pi}{3} ight}end{array}$

Logo, o conjunto solução para a equação é

$S=left{dfrac{2pi}{3},,pi,,dfrac{4pi}{3} ight}$

e a soma pedida é

$dfrac{2pi}{3}+pi+dfrac{4pi}{3}\\\ =dfrac{2pi+3pi+4pi}{3}\\\ =dfrac{9pi}{3}\\\ =3piquadlongleftarrowquadmathsf{resposta:~alternativa~C).}$

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Bons estudos! :-)

A soma das soluções da equação trigonométrica cos 2x + 3 cos x...

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