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Calcule a área da região limitada superiormente pela função g(...

Jhennife

Calcule a área da região limitada superiormente pela função g(x)=8√x, x≥0
, e inferiormente pela função f(x) = x2.

a) 56/3
b) 75/3
c) 36/3
d) 45/3
e) 64/3

1 Resposta

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EDU.IA

Após calcularmos  a integral das regiões concluirmos que á área é

Large ext{$ oxed{oxed{oxed{dfrac{64}{3} }}}$}

Alternativa A)

  • Mas, como chegamos nessa resposta?

Integrais

Temos que calcular á área delimitada por duas funções

A função limitada superiormente G(x)=8sqrt{x} e a função limitada inferiormente   F(x)=x^2, ou seja temos que calcular uma integral definida

  • Integrais definidas são usadas para se obter á área de um função

Primeiro temos que saber em quais valores essas área terão interseção. É nos dito que o inferior é 0 agora temos que encontrar a interseção superior

8sqrt{x}=x^2 (8sqrt{x} )^2=(x^2)^2\64x=x^4\64=x^3\x=sqrt[3]{64} \oxed{x=4}

Com isso achamos que o limite superior é 4, agora podemos montar nossa integral

Large ext{$ intlimits^4_0 {8sqrt{x} -x^2} , dx $}

  • Lembre-se que quando queremos achar á área formado por duas funções sempre pegamos a função superior e subtrairmos da inferior

agora antes de começarmos a calcular essa integral vamos relembrar algumas propriedades da integral

  • Regra da constante multiplicando uma variável

      Large ext{$ intlimits^a_b {ccdot x} , dx =ccdot intlimits^a_b {x} , dx $}

  •    Integral da potência

       Large ext{$ intlimits^a_b { X^N} , dx = intlimits^a_b {frac{X^{N+1}}{N+1} } , dx $}

  • Integral da Raiz de X

   Large ext{$ intlimits^a_b { sqrt{x} } , dx = intlimits^a_b {frac{2x^{frac{3}{2} } }{3} } , dx $}

Com isso em mente vamos resolver a questão

Large ext{$ intlimits^4_0 {8sqrt{x} -x^2} , dx $}\Large ext{$ left(8cdot intlimits^4_0 {sqrt{x}ight) -left(intlimits^4_0 {x^2} } , dxight) $}

Large ext{$8cdotleft[dfrac{2left(xight)^{frac{3}{2} }}{3}ight]^4_0 -left[dfrac{x^3}{3}ight]^4_0 $}

agora basta substituirmos os limites é vermos o resultado

Large ext{$8cdotleft[dfrac{2left(xight)^{frac{3}{2} }}{3}ight]^4_0 -left[dfrac{x^3}{3}ight]^4_0 $}\Large ext{$8cdot left(frac{2cdot (4)^{frac{3}{2} }}{3}- frac{2cdot (0)^{frac{3}{2} }}{3}ight)-left(dfrac{4^3}{3} -dfrac{0^4}{3}ight)$}

Agora só resolver a expressão numérica

Large ext{$8cdot left(frac{2cdot (4)^{frac{3}{2} }}{3}- frac{2cdot (0)^{frac{3}{2} }}{3}ight)-left(frac{4^3}{3} -frac{0^4}{3}ight)$}\Large ext{$8cdot left(frac{2cdot 8}{3}- frac{2cdot 0}{3}ight)-left(frac{64}{3} -frac{0}{3}ight)$}\Large ext{$8cdot left(frac{16}{3}- 0ight)-left(frac{64}{3} -0ight)$}\Large ext{$8cdot frac{16}{3}-frac{64}{3} $}\Large ext{$ frac{128}{3}-frac{64}{3} $}\Large ext{$ frac{64}{3} $}

Então a área da região é

Large ext{$ oxed{oxed{oxed{dfrac{64}{3} }}}$}

Aprenda mais sobre integrais aqui  :

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50103040

26812598

#SPJ11

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