Dados os pontos A(m, 1, 2), B(2, –2, –3), C(5, –1, 1) e D(3, –...

Temos os seguintes pontos:

A partir desses pontos a questão faz as seguintes perguntas:

Para que os pontos sejam coplanares, devemos fazer um determinante com os três vetores formados pelos pontos. Para encontrar esses tais vetores, basta trazê-los para a origem, ou seja, fazer a subtração do ponto final pelo inicial:

Agora é só montar o determinante, caso o resultado seja "0", quer dizer então que os pontos são coplanares, já que se for diferente de "0", o resultado é que eles não são coplanares.

Vamos começar montando os vetores:

Para encontrar um vetor que sejam ortogonal, ou seja, perpendicular simultâneamente a esses dois vetores, basta calcular o produto vetorial entre os vetores BC e BD, pois como sabemos o resultado do produto vetorial é sempre um vetor que é perpendicular aos outros dois envolvidos.

Como normalmente não colocamos as componentes, então temos que o vetor perpendicular é dado por:

Mas note que esse vetor não é unitário, pois o seu módulo é diferente de 1, então vamos partir para o versor que é um múltiplo desse vetor e é justamente o que procuramos (unitário). O versor é dado pela divisão do vetor pelo seu módulo.

Espero ter ajudado