Determinar a equação da elípse cujo eixo focal é a reta y+x=2,...

Question

Determinar a equação da elípse cujo eixo focal é a reta y+x=2,...

Dudasantos Solange

há 3 anos

Determinar a equação da elípse cujo eixo focal é a reta y+x=2, o centro é o ponto C(-3, 5), os comprimentos do seu eixo menor e distância focal são, respectivamente, 2 e 4.

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Gibalinda · Answer 1 · 2022-11-28T16:54:07-03:00

Resposta: $dfrac{(x-y+8)^2}{10}+dfrac{(x+y-2)^2}{2}=1.$

Explicação passo a passo:

eixo menor:

distância focal:

Encontrando o comprimento do semieixo maior:

$a^2=b^2+c^2\\Longrightarrowquad a^2=1^2+2^2\\Longleftrightarrowquad a^2=1+4\\Longleftrightarrowquad a^2=5\\Longrightarrowquad a=sqrt{5}$

Centro da elipse é o ponto C(-3,,5). Este deverá ser a origem O'(h,,k) do novo sistema de coordenadas após após feita a translação de eixos:

$C(-3,,5)quadLongrightarrowquad left{egin{array}{l}h=-3\k=5end{array} ight.qquadmathrm{(i)}$

O eixo focal é uma reta oblíqua, não paralela nem ao eixo x, nem ao eixo y. Logo, devemos encontrar um ângulo heta de rotação dos eixos para o novo sistema de coordenadas x'O'y':

r!:~y+x=2quadLongleftrightarrowquad r!:~y=-x+2qquadmathrm{(ii)}

O coeficiente angular da reta é -1. Considerando o eixo focal sobre a reta Ox' , devemos ter

Longrightarrowquadmathrm{tg,} heta=-1qquad mathrm{(iii)}

O ponto C(-3,,5) pertence à reta e está no 2º quadrante. Logo, o ângulo heta é do 2º quadrante, e por (iii) segue que

$Longrightarrowquad heta=dfrac{3pi}{4}mathrm{~rad}quad Longrightarrowquadleft{egin{array}{l}cos heta=-,dfrac{sqrt{2}}{2}\\ mathrm{sen,} heta=dfrac{sqrt{2}}{2}end{array} ight.qquadmathrm{(iv)}$

A equação reduzida da elipse no novo sistema de coordenadas é

$dfrac{x'^2}{a^2}+dfrac{y'^2}{b^2}=1\\\Longrightarrowquad dfrac{x'^2}{5}+dfrac{y'^2}{1}=1qquadmathrm{(v)}$

Transformação de coordenadas do sistema xOy para x'O'y':

Devemos ter

$egin{bmatrix}x'\y'end{bmatrix}=egin{bmatrix}cos heta&mathrm{sen,} heta\-,mathrm{sen,} heta&cos hetaend{bmatrix}cdot egin{bmatrix}x-h\y-kend{bmatrix}\\\ Longrightarrowquad egin{bmatrix}x'\y'end{bmatrix}=egin{bmatrix}-,frac{sqrt{2}}{2}&frac{sqrt{2}}{2}\\ -,frac{sqrt{2}}{2}&-,frac{sqrt{2}}{2}end{bmatrix}cdot egin{bmatrix}x+3\y-5end{bmatrix}$

$Longleftrightarrowquad egin{bmatrix}x'\y'end{bmatrix}=-,dfrac{sqrt{2}}{2}cdot egin{bmatrix}1&-1\ 1&1end{bmatrix}cdot egin{bmatrix}x+3\y-5end{bmatrix}$

Efetuando a multiplicação das matrizes do lado direito, obtemos

$left{egin{array}{l}x'=-,dfrac{sqrt{2}}{2}cdot ig(1cdot (x+3)-1cdot(y-5)ig)\\ y'=-,dfrac{sqrt{2}}{2}cdot ig(1cdot (x+3)+1cdot(y-5)ig)end{array} ight.\\\\ Longleftrightarrowquad left{egin{array}{l}x'=-,dfrac{sqrt{2}}{2}cdot ig(x+3-y+5)\\ y'=-,dfrac{sqrt{2}}{2}cdot (x+3+y-5)end{array} ight.$

$Longleftrightarrowquad left{egin{array}{l}x'=-,dfrac{sqrt{2}}{2}cdot ig(x-y+8)\\ y'=-,dfrac{sqrt{2}}{2}cdot (x+y-2)end{array} ight.qquadmathrm{(vi)}$

Substituindo na equação (v) da elipse, obtemos

$Longrightarrowquad dfrac{left[-frac{sqrt{2}}{2}cdot (x-y+8) ight]^{!2}}{5}+dfrac{left[-frac{sqrt{2}}{2}cdot (x+y-2) ight]^{!2}}{1}=1\\\ Longleftrightarrowquad dfrac{frac{1}{2}cdot (x-y+8)^2}{5}+dfrac{frac{1}{2}cdot (x+y-2)^2}{1}=1\\\ Longleftrightarrowquad dfrac{(x-y+8)^2}{10}+dfrac{(x+y-2)^2}{2}=1quadlongleftarrowquadmathsf{resposta.}$

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Bons estudos!

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