Encontre a integral abaixo[tex]\int\ {sen^4(3x)cos(x)} \, dx[/...

$dfrac{81}{5},mathrm{sen^5}(x)-dfrac{432}{7},mathrm{sen^7}(x)+dfrac{864}{9},mathrm{sen^9}(x)-dfrac{768}{11},mathrm{sen^{11}}(x)+dfrac{256}{13},mathrm{sen^{13}}(x)+C.$

Explicação passo a passo:

Calcular a integral indefinida

$displaystyleint mathrm{sen^4}(3x)cos(x),dxqquadmathrm{(i)}$

Primeiramente, vamos expressar mathrm{sen}(3x) em termos de mathrm{sen}(x). Escrevendo 3x = 2x + x e aplicando a fórmula do seno da soma, obtemos:

$mathrm{sen}(3x)=mathrm{sen}(2x+x)\=mathrm{sen}(2x)cos(x)+cos(2x)mathrm{sen}(x)$

Aplicando as fórmulas para o seno e o cosseno do arco duplo, a expressão acima fica

$=ig(2,mathrm{sen}(x)cos(x)ig)cos(x)+ig(!cos^2(x)-mathrm{sen^2}(x)ig)mathrm{sen}(x)\ =2,mathrm{sen}(x)cos^2(x)+mathrm{sen}(x)cos^2(x)-mathrm{sen^3}(x)\ =3,mathrm{sen}(x)cos^2(x)-mathrm{sen^3}(x)$

Substitua cos²(x) = 1 − sen²(x) acima:

$=3,mathrm{sen}(x)ig(1-mathrm{sen^2}(x)ig)-mathrm{sen^3}(x)\ =3,mathrm{sen}(x)-3,mathrm{sen^3}(x)-mathrm{sen^3}(x)\ herefore quad mathrm{sen}(3x)=3,mathrm{sen}(x)-4,mathrm{sen^3}(x)qquadmathrm{(ii)}$

Substituindo na integral (i), obtemos

$displaystyle =intig(3,mathrm{sen}(x)-4,mathrm{sen^3}(x)ig)^4cos(x),dxqquadmathrm{(iii)}$

Faça a seguinte substituição:

mathrm{sen}(x)=uquadLongrightarrowquad cos(x)dx=du

e a integral fica

displaystyle=int (3u-4u^3)^4,du

Expandindo a quarta potência do polinômio em u (ver Binômio de Newton), obtemos

$displaystyle=int ig((3u)^4+4(3u)^3(-4u^3)+6(3u)^2(-4u^3)^2+4(3u)(-4u^3)^3+(-4u^3)^4ig)du\=int ig(81u^4+4(27u^3)(-4u^3)+6(9u^2)(16u^6)+4(3u)(-64u^9)+256u^{12}ig)du\=int ig(81u^4-432u^6+864u^8-768u^{10}+256u^{12}ig)du$

Temos que integrar um polinômio em u. Aplicamos a regra para a integral de potências:

$=dfrac{81u^{4+1}}{4+1}-dfrac{432u^{6+1}}{6+1}+dfrac{864u^{8+1}}{8+1}-dfrac{768u^{10+1}}{10+1}+dfrac{256u^{12+1}}{12+1}+C \=dfrac{81u^5}{5}-dfrac{432u^7}{7}+dfrac{864u^9}{9}-dfrac{768u^{11}}{11}+dfrac{256u^{13}}{13}+C$

Substituindo de volta para a variável x, finalmente chegamos ao resultado:

$=dfrac{81}{5},mathrm{sen^5}(x)-dfrac{432}{7},mathrm{sen^7}(x)+dfrac{864}{9},mathrm{sen^9}(x)-dfrac{768}{11},mathrm{sen^{11}}(x)+dfrac{256}{13},mathrm{sen^{13}}(x)+Cquadcheckmark$

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Bons estudos!

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