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Perguntas a e b sobre funções. Ver foto.

Agnes Viana

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Lauyne Fabiana

a) Primeiro, vamos descobrir para que valor de "x" esta função tem como imagem 8:

5^{3x}=8

(5^x)^3=2^3

5^x=2

log5^x=log2

xcdot log5=log2

x=frac{log2}{log5}

x=log_5 2

Sabemos então que f(log_5 2)=8, logo a=log_5 2.

Agora podemos encontrar aquilo que o exercício nos pede:

f(-frac{a}{3})=f(-frac{log_52}{3})

f(-frac{a}{3})=f(-frac{log2}{log5}div 3)

f(-frac{a}{3})=f(-frac{log2}{log5}cdot frac{1}{3} )

f(-frac{a}{3})=f(-frac{log2}{3cdot log5})

f(-frac{a}{3})=f(-frac{log2}{log5^3})

f(-frac{a}{3})=f(-frac{log2}{log125})

f(-frac{a}{3})=f(-log_{125}2)

f(-frac{a}{3})=5^{3cdot (-log_{125}2)}

f(-frac{a}{3})=(5^3)^{ -log_{125}2}

f(-frac{a}{3})=125^{ -log_{125}2}

f(-frac{a}{3})=125^{ (log_{125}2)cdot(-1)}

f(-frac{a}{3})=(125^{log_{125}2})^{-1}

Note o seguinte, o log_{125}2 representa um expoente que ao elevar o 125 resulta em 2. Aqui estamos elevando o 125 justamente a este expoente, logo:

f(-frac{a}{3})=2^{-1}

f(-frac{a}{3})= frac{1}{2}

b) Sim, esta função é inversível. Vamos reescrevê-la trocando f(x) por y:

y=5^{3x}

Agora para invertê-la trocamos de lugar o "x" e o "y". Depois tentamos isolar o "y":

x=5^{3y}

5^{3y}=x

(5^3)^y=x

125^y=x

log 125^y=log x

ycdot log125=log x

y=frac{log x}{log 125}

y=log_{125} x

Assim temos a função inversa:

f^{-1}(x)=log_{125}x

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