(pucrs) na equação tan(x) = cot(x) em r, onde 0 < x < pi...

Vamos lá.

Pede-se para resolver a seguinte questão:

tan(x)= cot(x) , com o arco "x" no intervalo: 0 < x < π/2 noteque este intervalo é o primeiro quadrante do círculo trigonométrico,local em que todos as funções trigonométricas são positivas.

Bem, agora, vamos encontrar quais são os possíveis valores do arco "x", no intervalo considerado [ 0 < x < π/2].

Como tan(x) = sen(x)/cos(x) e cot(x) = cos(x)/sen(x) , então teremos isto:

sen(x)/cos(x) = cos(x)/sen(x) multiplicando em cruz, teremos:
sen(x)*sen(x) = cos(x)*cos(x)
sen²(x) = cos²(x) vamos extrair a raiz quadrada de ambos os membros, com o que ficaremos assim:

√(sen²(x)) = √(cos²(x)) como ambas as funções estão ao quadrado, então ambas saem de dentro dos respectivos radicais, ficando:

sen(x) = cos(x)

Agora veja: no primeiro quadrante, o seno só é igual ao cosseno no arco de
π/4 radianos (ou arco de 45º).

Então, o arco "x" será:

x = π/4 <--- Esta é a resposta. Opção "d".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.