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Resolva a equação binômialx³ + i = 0

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Resolva a equação binômial
x³ + i = 0

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displaystyle sf ext{Radicia{c c}{~a}o de um complexo} : \ sqrt[displaystyle sf n]{sf Z} = sqrt[displaystyle sf n]{sf |Z|} cdot cisleft(frac{arg(z)+2cdot kcdto pi }{n}ight) , k = {0,1,2, ... ,n-1 }

Temos :

displaystyle sf x^3+i = 0 \ x^3 = -i \ x^3 = cisleft(frac{-pi }{2}+2cdot kcdot pi ight) k in mathbb{Z} \ sqrt[3]{sf x^3 } = cisleft( frac{displaystyle frac{-pi }{2}+2cdot kcdot pi}{displaystyle 3} ight) \ x = cisleft(frac{-pi+4cdot kcdotpi }{6}ight) , k = {0,1,2}

displaystyle sf k = 0 o x_ 1 = cisleft (frac{-pi }{6}ight ) = cosleft(frac{-pi}{6} ight) +icdot sen left(frac{-pi}{6} ight) = frac{sqrt{3}}{2}-icdot frac{1}{2} } \ k = 1 o x_ 2 = cisleft (frac{-pi +4pi }{6}ight ) = cosleft(frac{3pi}{6} ight) +icdot sen left(frac{3pi}{6} ight) = i

displaystyle sf k = 2 o x_ 3 = cisleft (frac{-pi +4cdot 2pi }{6}ight ) = cosleft(frac{7pi}{6} ight) +icdot sen left(frac{7pi}{6} ight) = frac{-sqrt{3}}{2}-icdot frac{1}{2}

Daí, temos as seguinte raízes :

oxed{ egin{array}{I} displaystyle sf x_ 1 = frac{sqrt{3}}{2}-icdotfrac{1}{2} \ sf x_2 = i\ displaystyle sf x_ 3 = -frac{sqrt{3}}{2}-icdotfrac{1}{2} \ end{array} } huge{checkmark}


Resolva a equação binômialx³ + i = 0
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