Sabendo que os ângulos internos de um triângulo retângulo estão em progressão geométrica ,determine a medida do menor ângulo em radianos.
1 Resposta
Em um triângulo retângulo, sabemos que o maior ângulo é o de ![dfrac{pi}{2} ext{ rad}]()
. Assim, é conveniente que este seja o último termo da P.G. (poderia ser o primeiro, mas resultaria em uma P.G. decrescente). Também sabemos que os outros dois ângulos são complementares (a soma destes é ![dfrac{pi}{2} ext{ rad}]()
).
Então, temos a P.G. formada pelos ângulos positivos![alpha]()
, ![dfrac{pi}{2}-alpha]()
e ![dfrac{pi}{2}]()
, onde ![alpha]()
é o menor deles:
![left(alpha,, dfrac{pi}{2}-alpha,, dfrac{pi}{2}
ight )]()
Devemos ter, então
![dfrac{frac{pi}{2}-alpha}{alpha}=dfrac{frac{pi}{2}}{frac{pi}{2}-alpha}\ \ left(dfrac{pi}{2}-alpha
ight )^{2}=dfrac{pi}{2}cdot alpha\ \ dfrac{pi^{2}}{4}-pi alpha+alpha^{2}=dfrac{pi}{2}cdot alpha\ \ pi^{2}-4pialpha+4alpha^{2}=2pialpha\ \ 4alpha^{2}-6pialpha+pi^{2}=0\ \ \ Delta=left(-6pi
ight )^{2}-4cdotleft(4
ight )cdotleft(pi^{2}
ight )\ \ Delta=36pi^{2}-16pi^{2}\ \ Delta=20pi^{2}\ \ Delta=4pi^{2} cdot 5\ \ Delta=left(2pi)^{2}cdot 5\ \ \]()
![alpha=dfrac{6pipmsqrt{left(2pi
ight )^{2}cdot 5}}{2 cdot left(4
ight )}\ \ alpha=dfrac{6pi pm 2pisqrt{5}}{2 cdot 4}\ \ alpha=dfrac{3pi pm pisqrt{5}}{4}\ \ alpha=dfrac{pi}{4}left(3 pm sqrt{5}
ight )\ \ \ oxed{alpha_{1}=dfrac{pi}{4}left(3+sqrt{5}
ight ) ext{;;;ou;;;}\ \ alpha_{2}=dfrac{pi}{4}left(3-sqrt{5}
ight )}]()
O outro ângulo é![dfrac{pi}{2}-alpha]()
:
![dfrac{pi}{2}-alpha_{1}\ \ =dfrac{pi}{2}-dfrac{pi}{4}left(3+sqrt{5}
ight)\ \ =dfrac{2pi-pileft(3+sqrt{5}
ight )}{4} < 0 ext{ (n~{a}o serve)}\ \ \ dfrac{pi}{2}-alpha_{2}\ \ =dfrac{pi}{2}-dfrac{pi}{4}left(3-sqrt{5}
ight)\ \ =dfrac{2pi-pileft(3-sqrt{5}
ight )}{4} 0 ext{ (OK)}]()
Logo, o menor ângulo é![alpha=dfrac{pi}{4}left(3-sqrt{5}
ight) ext{ rad}]()
.
Então, temos a P.G. formada pelos ângulos positivos
Devemos ter, então
O outro ângulo é
Logo, o menor ângulo é
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