Se considerarmos qt=100∙ 0,84t e o valor de q(t) igual a 16, q...

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Se considerarmos qt=100∙ 0,84t e o valor de q(t) igual a 16, q...

daymano

há 6 anos

Se considerarmos qt=100∙ 0,84t e o valor de q(t) igual a 16, qual seria o valor de t+7? dados log 0,84=-0,076 ; log 0,16= -0,79 ; log 4 =0,6 ; log 16 =1,2

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César Gama · Answer 1 · 2024-12-20T01:28:22-03:00

$Q(t) = 100 cdot 0,84^{t}$

Quando Q(t) = 16 :

$16 = 100 cdot 0,84^{t}$

Dividindo por 100 dos dois lados da equação:

$dfrac{16}{100} = 0,84^{t}$

0,16 = 0,84^t

Agora, para remover o expoente t, aplicamos logaritmo na base 0,84 dos dois lados da equação, já que:

$log_{a}[a]^c = c cdot log_{a}[a] = c cdot 1 = c$

Ficará:

$log_{0,84}[0,16] = log_{0,84}[0,84]^t$

$log_{0,84}[0,16] = t cdot log_{0,84}[0,84]$

$log_{0,84}[0,16] = t cdot 1$

$t = log_{0,84}[0,16]$

Perceba que todos os logaritmos dados no enunciado estão na base 10. Não podemos trabalhar com base 0,84. Utilizando a propriedade da mudança de base em logaritmos:

$log_{a}[b] = dfrac{log_{c}[b]}{log_{c}[a]}$

Onde a = base atual, b = logaritmando atual, c = base nova. Fazendo a conversão para base 10:

$log_{0,84}[0,16] = dfrac{log_{10}[0,16]}{log_{10}[0,84]}$

O enunciado te dá o $log_{10}[16]$ e $log_{10}[0,84]$ . Apenas note que:

$0,16 = dfrac{16}{100} = dfrac{16}{10^2} = 16 cdot 10^{-2}$

Fazendo esta substituição, teremos:

$t = dfrac{log_{10}[16 cdot 10^{-2}]}{log_{10}[0,84]}$

Agora, utilizando a propriedade:

log[a cdot b] = log[a] + log[b]

Teremos:

$t = dfrac{1}{log_{10}[0,84]} cdot (log_{10}[16] + log_{10}[10]^{-2})$

Repetindo a primeira propriedade que mostrei:

$t = dfrac{1}{log_{10}[0,84]} cdot (log_{10}[16] -2 cdot log_{10}[10])$

$t = dfrac{1}{log_{10}[0,84]} cdot (log_{10}[16] -2 cdot 1)$

$t = dfrac{1}{log_{10}[0,84]} cdot (log_{10}[16] -2)$

Agora, substituindo: $log_{10}[0,84] = -0,076$ e $log_{10}[16] = 1,2$ , teremos:

$t = dfrac{1}{-0,076} cdot (1,2 -2)$

$t = dfrac{0,8}{0,076}$

Aproximando a divisão:

t approx 10,526

Assim:

oxed{t+7 = 10,526 + 7 = 17,526}

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