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Bento Bispo

Seja f abre parênteses x fecha parênteses função inversível tal que ambas f parêntese esquerdo x parêntese direito texto e fim do texto f à potência de menos 1 fim do exponencial parêntese esquerdo x parêntese direito são deriváveis e integráveis. Assuma que F abre parênteses x fecha parênteses é uma primitiva de f abre parênteses x fecha parênteses. Com respeito a integral indefinida de f à potência de menos 1 fim do exponencial abre parênteses x fecha parênteses, é correto afirmar que:

Seja f abre parênteses x fecha parênteses função inversível tal que ambas f parêntese esquerdo x parêntese direito texto e fim do texto f à pot?

2 Respostas

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Carlos Pacheco

Resposta:

int :f^{-1}left(xight)dx=xf^{-1}left(xight)-Fleft(f^{-1}left(xight)ight)+c

Explicação passo a passo:

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Zecapagodinh Vitor

⇒     Aplicando nossos conhecimentos sobre Técnicas de Integração, concluímos que a função procurada está corretamente descrita na alternativa b

Sabendo que  int f'(x)dx=f(x)+c , então, na sua questão, temos:

egin{array}{l}displaystyle f( x) =int f'( x) dx\\displaystyle=int 1+ln x dx\\displaystyle =int 1 dx +int ln x dxend{array}

➜     O resultado da primeira integral é  x . Para a segunda integral, utilizaremos a técnica da integração por partes, a saber:

oxed{ int udv=uv-int vdu}

➜     Reescrevendo  int ln xdx  como  int 1cdot ln x dx , faremos as seguintes substituições:

egin{cases}u=ln x\dv=1dx\du=frac{1}{x} dx\displaystyle int dv=int 1dxLongrightarrow v=xend{cases}

Portanto,

egin{array}{l}displaystyleint 1ln xdx=ln xcdotp x-int xcdotp frac{1}{x} dx\\=xln x-xend{array}

➜     E assim,  f(x)=x+xln x -x=xln x

➜     Adicionando a constante de integração,

f(x)=xln x+c

➜     Do enunciado,  f(1)=1 , i.e.,  1 cdot ln 1+c=1Rightarrow c=1

∴     f(x)=x ln x+1   ✍️

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